那些檢測器裏的到底數字，就能找到圖片裏顏色變化的聪明从手地方。把形狀變成部件，机人這個檢測器也是脸识 9 個數字 ：

-1  0  1-2  0  2-1  0  1

這個檢測器有個名字 ，圖形處理器）來算 。别说它怎麽找到邊緣？到底

答案讓我很驚訝：隻用簡單的加減乘除就能做到。

整個過程不到一秒。聪明从手GPU 算力、机人加上"女人"，脸识就是别说一串能代表你長相特征的數字）

整個過程沒有任何"理解"
。旗艦模型超過 1 億個參數，到底就 9 個像素 ，聪明从手

這就是机人 AI 的"聰明" ：不是真的理解 ，數字越大，脸识能識別的别说東西就越複雜。而發型屬於臉的外圍 ，檢測更複雜的東西。得先回答一個基本問題 ：電腦看到的"照片"長什麽樣？

一張照片是由很多個小點組成的，叫神經網絡
。

• 如果左右兩邊顏色一樣——正數和負數互相抵消，看一眼屏幕，中間的灰色就是 1 到 254
  。

  這就是"學習"的本質
  ：不是有人教了它規則 ，排成 3×3：

  10  10  1010  10 20010 200 200

  左上角是深色（數字 10，但邊緣隻是一堆線條
  。一個管上下——就能找到圖片中任意方向的邊緣
  。處理一下、算出每一個數字對這個錯誤的"貢獻"有多大。但應該是 0%。

  這種"很多層檢測器疊加"的結構 ，

  你看，有一個名字，為什麽 ？

  先別急著回答。"這是汽車"。汽車

像素 → 邊緣 → 形狀 → 部件 → 整體

每一層都是在上一層的基礎上，這就形成了一條邊緣 ，後 3 層負責把前麵提取到的所有信息匯總起來做最終判斷（叫"全連接層"——你可以把它想象成"匯總投票"，然後全部加起來 。建議零售價 $499

訂閱

如果覺得有意思，它輸出"60% 可能是貓"，

怎麽用呢
？把檢測器疊放到圖片上，

2012 年，別擔心，它專門用來檢測垂直方向的邊緣。

讓我把完整的過程串起來：

1. 采集麵部數據
   ：手機用攝像頭和傳感器采集你的麵部信息，

   它錯了。

   在此之前 ，沒有人告訴電腦"要檢測眼睛"
    ，AlexNet 的 6000 萬個參數震驚了整個計算機視覺領域 。斜線  、直到一個想法改變了一切：

   不要人類來設計檢測器，幾千萬個參數反複做計算。之所以叫這個名字 ，

   這就是"訓練"。第二層找形狀，什麽是"眼睛" 
   ，什麽是"鼻子"。於是花了很長時間去拆這個東西——手機為什麽換了發型還能認出你，覺得不錯的話
   ，一種讓深層網絡更容易訓練的數學技巧（叫 ReLU），6000 萬參數 ，這些技術讓更深的網絡變得可訓練。後續文章也會持續更新。讓檢測結果更穩定
   。需要對幾百萬張圖片、

   電腦眼中的照片

   要理解手機怎麽"人臉識別"，也會同時在左右和上下兩個方向上產生亮度差，把部件變成一組代表你這張臉的數字
   ，是數字。結果的數字越大（不管是正還是負）
   ，

   那次突破有多震撼 ？在 ImageNet 圖像識別比賽中，每一張都要把所有參數調整一遍。結果是正數（有一條從暗到亮的邊緣）

2. 如果左邊比右邊亮——負數那邊貢獻更大 ，

   

   每天早上，
   有的變成了紋理檢測器。

   現在我用一個"檢測器"來掃描它 。而不是死記每張圖的細節）。這個檢測器會在整張圖片上一格一格地滑動，

   Alex Krizhevsky 正是用兩塊遊戲顯卡（NVIDIA GTX 580，就是"深度學習"。

   但你可能已經發現了一個問題 ：這個檢測器隻能找到垂直方向的邊緣（左右亮度差） 。右邊一列全是正數 ，所以還能匹配上 。所以 GPU 特別擅長"同時做很多簡單的計算"。

   重複這個過程幾百萬次。接近黑色） ，它"看到"的是什麽
   ？不是一個水果的畫麵，瞳孔是深色的，

   這就是電腦"看"圖片的第一步：找到所有顏色突變的位置。那就是像素。

   但文字呢 ？

   當你對 ChatGPT 說"蘋果" ，最終這個數據集包含了超過 1400 萬張標注好的圖片，而是有一套精巧的方法能算出每個數字該往大了調還是往小了調 。錯了多少？差了很多——它說 60% 是貓，

   3. 算法

   AlexNet 還用了幾個關鍵的技術改進。我們來聊這個問題 。

   這就是電腦"看到"的東西 。不能告訴你"這是一隻眼睛"。眼睛也是  ：眼白是淺色的，人類知道"要檢測垂直邊緣，歡迎關注我，49000 名標注工人來自 167 個國家

3. Large-scale Deep Unsupervised Learning using Graphics Processors - Raina, Madhavan, Ng (2009) — GPU 訓練神經網絡比 CPU 快約 70 倍
4. NVIDIA GeForce GTX 580 - VideoCardz — GTX 580 於 2010 年 11 月發布，下巴這些區域的麵部特征被口罩擋住了，

   一堆數字，你能看出來這是一個十字形嗎 ？——中間一橫一豎的數字是 200（亮）
   ，那可能是一張臉"

5. 有人試著提取更複雜的特征
   ："檢測眼睛的形狀" 、對應位置的數字相乘，

   邊緣勾勒出了圖片裏"有東西"的地方。至今已經用了半個多世紀 。什麽是鼻子。綜合判斷最終結果）。右下角是淺色（數字 200，

   電腦沒有被告知"要檢測邊緣" 。隻是方向變了 ：它比較的是"下麵的亮度 - 上麵的亮度"。但原理完全一樣——歸根到底還是數字。超過 1400 萬張標注圖片

6. The data that transformed AI research — and possibly the world - Quartz — ImageNet 的建設過程 ，

   2009 年，叫 Sobel 算子（"算子"就是"計算工具"的意思） 。比如
   ：

   0.1  -0.3   0.50.2   0.1  -0.40.3   0.2   0.1

   用這個隨機檢測器去掃描圖片 
   ，

   而訓練神經網絡恰好也是這種活——對幾百萬個數字做大量簡單的乘法和加法。我一直很好奇 AI 到底是怎麽工作的
   ，其餘全是 0（暗）。

   給電腦看 1000 張貓的照片和 1000 張狗的照片，變成了"這個位置有沒有邊緣"的數字 。它自己發現了"檢測邊緣有助於區分貓和狗"。哪怕是一條 45° 的斜線，一個很大的正數。第三層找五官部件
   ，取名 AlexNet（Alex 的網絡）
   。手機往往就不認識你了 。但永遠覆蓋不了真實世界的複雜性 。不過你不需要把這個類比想得太深——它隻是一種"層層傳遞、也就無法調整那些數字 。中間一列全是 0。五官、層數很多的神經網絡，等於什麽 ？

   參考資料

   1. Sobel operator - Wikipedia — Sobel 算子由 Irwin Sobel 和 Gary Feldman 於 1968 年在斯坦福人工智能實驗室提出
   2. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity - McCulloch & Pitts (1943) — 第一個神經元數學模型，而是它從大量的對錯反饋中，從互聯網上收集的真實場景人臉照片，到達一個"很少出錯"的狀態。層層疊加
   3. 提取特征：最後一層輸出一組數字——你可以把它理解為你這張臉的"數字指紋"（專業術語叫"特征向量"，當時售價 499 美元），什麽是"眼睛"。動輒幾十層、再傳給下一個 。

      一個邊緣檢測器隻能告訴你"這裏有一條線" ，層層提取特征——和我們前麵講的完全一樣）

   4. 層層檢測 ：這些數字經過很多層檢測器——第一層找邊緣 ，你拿起手機 ，花了大約 5-6 天，李飛飛團隊通過亞馬遜的眾包平台（一種把任務拆成小塊、檢測器關注的主要是五官區域的特征——發型變了
      ，AI 為什麽能通過律師考試卻會一本正經地撒謊 。嘴巴（兩條曲線）
   5. 第四層檢測器：把部件組合成整體——人臉、

      有的變成了邊緣檢測器（類似 Sobel 算子——電腦自己"發明"了類似的東西） 。它就是這樣一張表格：

      0   0  200   0   0  0   0  200   0   0200 200  200 200 200  0   0  200   0   0  0   0  200   0   0

      0 是黑色
      ，變成幾百萬個數字（說明一下：現代手機的人臉解鎖不隻靠普通攝像頭——比如 iPhone 的 Face ID 會用紅外線在你臉上投射上萬個不可見的小點，說明邊緣越明顯 。以及一種防止網絡"死記硬背"訓練數據的方法（叫 Dropout——隨機"關掉"一部分檢測器 ，這樣就不會被一張照片騙過去 。一張 1000×1000 的照片，LFW 準確率 99.63%

   6. Labeled Faces in the Wild — LFW 人臉識別測試集官方頁麵
   7. Learning representations by back-propagating errors - Rumelhart, Hinton, Williams (1986) — 反向傳播算法的奠基論文，這也是邊緣。它不知道什麽是"臉"、一個三角形在中間 ，動用了來自 167 個國家的近 5 萬名標注工人 ，

      就像考試之後對答案 ：

      • 最終結果錯了
      • 是因為最後一步的某個數字偏了
      • 那個數字偏了
        ，這些"正確答案"是電腦學習的前提——沒有答案，

        

        GPU 原本是用來生成（渲染）遊戲畫麵的 。發表於 Nature

      • ImageNet: A Large-Scale Hierarchical Image Database - Deng, Dong, Socher, Li, Li, Fei-Fei (2009) — ImageNet 數據集論文，他們第一次用數學來描述神經元的工作方式。你從來沒想過這件事有什麽特別的。所以這幾層叫"卷積層"） 。擅長一件一件地處理複雜任務），

        這個困境持續了幾十年，但疊加四五層之後   ，讓下次更可能猜對

      怎麽調整
      ？不是隨機亂調 ，但也很簡單——本質就是"比較左右兩邊的亮度差"。豎線、

      至於中間那列的係數（-2, 0, 2）比兩側的（-1, 0, 1）更大 ，就無法判斷對錯
      ，叫"參數"。但核心識別原理——把采集到的數據變成數字、

      -1  0  1-2  0  2-1  0  1

      當它掃描圖片的一個區域時，就有 100 萬個像素
      。

      

      神奇的事情發生了 ：那些原本隨機的數字
      ，

      • 如果上下顏色一樣——結果是 0（沒有水平邊緣）
      • 如果下麵比上麵亮——結果是正數（有一條水平邊緣）

      兩個檢測器配合使用——一個管左右，

      電腦用隨機檢測器算出一個結果 ，從左到右顏色在變亮。它有 8 層 。測量臉的立體形狀 ，

      但電腦隻看到數字啊，是為了讓檢測器更關注正中間一行的變化，

      從邊緣到形狀  ：AI 卡了幾十年

      找到邊緣之後呢？

      1968 年的 Sobel 算子能找到邊緣 ，需要給電腦看幾百萬張人臉照片，就是一組數字組成的小模板——把它疊到圖片上
      ，在人臉識別領域常用的測試集 LFW（Labeled Faces in the Wild，然後全部相加 ：(10×-1) + (10×0) + (10×1) +(10×-2) + (10×0) + (200×2) +(10×-1) + (200×0) + (200×1)= -10 + 0 + 10 + -20 + 0 + 400 + -10 + 0 + 200= 570

      結果是 570 ，鼻子（一個三角形輪廓）、隨機填一組數字，斯坦福的吳恩達（Andrew Ng）團隊就發表了一篇論文
      ，把邊緣變成形狀 ，就能看到一個個小方塊，叫做反向傳播——1986 年由 Rumelhart、它自己在反複的"猜對了/猜錯了"中發現了某些數字組合對區分不同人臉特別有用 。分給大量網上工人完成的平台），反向傳播算法在 1986 年就發表了 。就要比較左右兩邊的亮度"，把所有檢測器發現的信息都匯集在一起
      ，不是咬一口的味道——那它"看到"的是什麽
      ？

      文字怎麽變成數字
       ？AI 又怎麽"理解"這些數字的意思 ？

      下一篇
      ，

      2012 年的突破用了一個聰明的辦法 ：用遊戲顯卡（GPU，

      讓我一步一步算給你看：

      圖片:          檢測器:10  10  10     -1  0  110  10 200     -2  0  210 200 200     -1  0  1對應位置相乘，
      有的變成了顏色變化檢測器。想分享給你。就叫"深度神經網絡"
      ，
      這個數字的意思是：這裏有一條明顯的邊緣	，層層加工"的計算結構
      。隻用加減乘除，
      如果我們換一塊顏色完全相同、人臉識別的學習過程完全一樣。我後麵會專門講	
      。而是把它們變成"空的"——可以填入任何數值：
      ?  ?  ??  ?  ??  ?  ?
      一開始，純白是 255	，
      一個人的臉可以有無數種表情、把那個數字調大一點

   8. 如果變大——反過來，側臉怎麽辦
      ？戴帽子怎麽辦？隻露出半張臉怎麽辦？

      你怎麽可能把所有情況都寫成規則 ？

      規則越寫越多 ，對每個位置都做一次這樣的計算。

      

      這個類比最早來自 1943 年 McCulloch 和 Pitts 的論文
      ，比如，

      

      "標注好"的意思是：每張圖片都有人告訴你"這是貓"
      、都是黑色線框" loading="lazy">

      比如你的臉和背景之間——皮膚是淺色的，結果是負數（有一條從亮到暗的邊緣）

   差異越大  ，5 次都猜錯才算錯）——領先超過 10 個百分點
。重複幾百萬次之後，神經網絡研究的先驅 Geoffrey Hinton 的學生 Alex Krizhevsky 用這種"多層疊加"的方法做了一個圖像識別程序
，就能看到"臉"了。在 AI 領域有一個專門的名稱，這可能要算好幾個月甚至幾年。弧線

   9. 第三層檢測器：把形狀組合成部件——眼睛（兩條弧線圍成的橢圓）、結果肯定是亂七八糟的
      。斯坦福大學的李飛飛教授團隊發布了 ImageNet 數據集。它隻是在做加減乘除 ：把像素變成邊緣，經過層層計算 ，

      讓我用一個具體例子來演示。怎麽可能認出一張臉？

      第一個線索 ：邊緣

      什麽是邊緣？就是照片裏顏色突然變化的地方 。Graphics Processing Unit，而今天的大型模型 ，才有了 2012 年的突破。貓臉 、

      最簡單的情況是黑白照片：純黑是 0，每張都貼好標簽——"這是貓"、

      彩色照片稍微複雜一點 ：每個像素需要三個數字，結果是 0（沒有邊緣）

   10. 如果右邊比左邊亮——正數那邊貢獻更大
       ，

       反向傳播做的事情是：從最後的錯誤出發 ，檢測器提取出來的數字指紋和你錄入時的差太遠了。200 是亮色（接近白色）。自己找到了有用的規律 。就能檢測出圖片裏有沒有某種特征 。

       科學家們嚐試了很多方法：

       • 有人試著寫規則
         ："如果有兩個圓形在上麵 ，遊戲畫麵需要同時計算屏幕上幾百萬個像素的顏色
         ，讓電腦自己學。

         

         圖片:          檢測器:100 100 100    -1  0  1100 100 100    -2  0  2100 100 100    -1  0  1計算：(100×-1) + (100×0) + (100×1) +(100×-2) + (100×0) + (100×2) +(100×-1) + (100×0) + (100×1)= -100 + 0 + 100 +  -200 + 0 + 200 +  -100 + 0 + 100= 0

         結果是 0 。但對所有數字同時做這種微調，你很快就會明白 。而是從海量數據中找到了反複出現的模式——比如"眼睛區域的像素通常呈現這樣的數字組合"。這些可調整的數字，我們得先搞清楚一個更基本的問題 ：手機到底是怎麽"人臉識別"的？

         答案要從一個讓人意外的事實說起——

         你的手機看到的不是一張臉，為什麽這幾個數字能檢測邊緣 
         ？先看看它怎麽用
         ，是因為它的工作方式有點像人腦中的神經元——每個神經元接收信號、中間一行全是 0。層數越多，無數種光線 。

         

         這就是 AI 在"看"這件事上卡住了幾十年的地方 。曲線

       • 第二層檢測器 ：把第一層找到的邊緣組合起來
         ，

         這就是"深度學習"裏"深度"的含義——很多層檢測器疊加在一起。算法改進——同時到位
         ，綠色、而顏色在電腦裏是用數字表示的 。同步更新在個人博客和微信公眾號

         微信搜索"我沒有三顆心髒"或者掃描二維碼 ，分別表示紅色、

         一個現代的人臉識別模型可能有幾百萬到上億個參數
         。手機"看到"的是這樣的東西 ：

         142  98  87 134 156 178 ... 78  45  52  89 123 145 ...134 167 189 201 178 156 ...... (幾百萬個數字)

         手機要做的事情是 ：看這幾百萬個數字，突然有人考了 85 分。8 層網絡 ，

         一個新的問題

         理解了 AI 怎麽"認人"之後 ，藍色的強度（也是 0 到 255）。你就找到了輪廓 、

         為什麽 2012 年才成功？

         你可能會好奇
         ：如果"讓電腦自己學"這個想法這麽好 ，

         不過你可能注意過一個奇怪的事：在幾年前，解鎖。下麵一行全是正數，GPU 訓練神經網絡比 CPU 快約 70 倍。

         仔細看這個檢測器的結構 
         ：左邊一列全是負數 ，"神經網絡"名稱的起源

       • ImageNet Classification with Deep Convolutional Neural Networks - Krizhevsky, Sutskever, Hinton (2012) — AlexNet 論文 ，現在一些新手機即使戴口罩也能解鎖——那是因為廠商後來專門用大量戴口罩的照片重新訓練了模型 ，中間有一條從左上到右下的分界線——這就是一條邊緣。為什麽沒有更早實現？

         事實上，沒有邊緣。top-5 錯誤率 15.3%

       • AlexNet - Wikipedia — AlexNet 架構細節與參數量
       • FaceNet: A Unified Embedding for Face Recognition and Clustering - Schroff, Kalenichenko, Philbin (2015) — Google 的人臉識別模型，但換了個發型，所謂檢測器 ，

         假設電腦要判斷一張圖是貓還是狗 。數字大的地方，把那個數字調小一點

       每次調整的幅度都很小（比如 0.001），打個比方：所有人都在 74 分左右競爭 ，沒有人花這麽大力氣去收集和標注這麽多圖片。是因為裏麵的某個數字該大一點

   電腦會計算：如果某個檢測器裏的某個數字稍微變大一點，數字越小越暗
 ，涵蓋 2 萬多個類別
。

   核心突破：讓電腦自己學

   還記得前麵的 Sobel 算子嗎？

   -1  0  1-2  0  2-1  0  1

   這 9 個數字是人類設計的 。
還有一些，是因為上一層的某個檢測器輸出偏了

   11. 那個檢測器偏了，要理解這件事，接近白色）。Hinton 和 Williams 發表在《Nature》（全球最權威的科學期刊之一）上的一篇論文奠定了這個方法的基礎 。會自己變成有意義的檢測器。

       但如果我們告訴電腦"正確答案"呢？

       就像老師批改作業一樣。

       三個條件——海量數據、

       不過你可能發現了，找到了邊緣，實際上在做這件事：

       • 右邊像素的亮度 × 正數（加分）
       • 左邊像素的亮度 × 負數（減分）
       • 中間像素 × 0（不影響結果）

       所以最終的結果，但正確答案是"狗"。

       為什麽這個檢測器能工作？

       你可能會好奇 ：-1, 0, 1, -2, 0, 2, -1, 0, 1這幾個數字是怎麽來的
       ？為什麽這樣排列就能檢測邊緣？

       讓我解釋一下它的邏輯。識別簡單形狀——圓形 、但換發型還能認出來 ？

       因為口罩遮住了臉的下半部分——嘴巴  、

       這個設計很聰明
        ，

       整個網絡包含 6000 萬個可調整的數字 。"這是狗" 、兩個檢測器都會給出非零結果。即可訂閱
       。現在你隻需要知道：電腦有辦法算出調整的方向和幅度。這個方法叫"反向傳播"，歡迎分享+關注。下麵有一條橫線，它照樣能解鎖。最終的錯誤會變大還是變小  ？

       • 如果變小——好，鼻梁這些區域的數字模式沒變，原理完全一樣 ，都不是人類設計的 ，用普通電腦的 CPU（中央處理器 ，

         現在可以回答文章開頭的那個問題了 
         ：為什麽戴口罩手機就不認識你，

         手機不知道什麽是眼睛
         、和正確答案對比 ：

         • 如果猜對了——不錯，

           這需要大量的計算。

           疊加：從線條到人臉

           但一層檢測器還不夠。但眼睛、這個係列就是我的探索筆記，背景可能是深色的，

           這是 「AI是怎麽回事」係列的第 1篇 。其中前 5 層做的就是我們前麵演示的操作——用檢測器在圖片上滑動 、電腦怎麽知道該把那些數字往大了調還是往小了調？

           這是整個係統最精巧的部分 ，訓練出了 AlexNet。讓檢測器學會了隻靠眼睛和眉毛區域的特征來識別你。ChatGPT 回答你的那三秒鍾裏究竟在算什麽，比如 Google 在 2015 年發表的 FaceNet
           ，

           所以當你拿手機對著自己的臉 ，把兩個結果綜合起來
           ，如果邊緣是水平的（上下亮度差）呢？

           很簡單——把檢測器旋轉 90° ：

           -1  -2  -1 0   0   0 1   2   1

           看出來了嗎 ？現在上麵一行全是負數，從 1.6 億張候選圖片中篩選和標注。發現了很多有意思的東西  ，第一層隻能看到線條，不是圖像，一堆線條還不能告訴我們"這是一張臉"。越大越亮。上百層 ，它通過層層檢測器從數字中提取特征。為了建成 ImageNet，

           而關鍵是：每一層的檢測器裏的數字，電腦的"大腦"，這樣就能得到一張新的"邊緣地圖"——原圖中每個位置的數字，所以選擇了這樣的數字組合。這些小點叫像素——你把手機照片放大再放大，

           

           每個像素都有一個顏色，我產生了一個新的疑問：

           AI 能"看"了——圖片在它眼裏是數字矩陣  ，你會看到一個讓我非常震撼的例子："國王"減去"男人"，參數量更是以億計 。訓練這樣一個模型，本質上就是 ：右邊的亮度 - 左邊的亮度。然後比較兩組數字有多接近 。證明在特定任務上 ，三角形 、逼網絡學到更通用的規律
           ，一層一層往回追溯，

           順便說一下這個檢測器的來曆 ：Sobel 算子是 1968 年由 Irwin Sobel 和 Gary Feldman 在斯坦福人工智能實驗室的一次演講中提出的，就是邊緣。

           讓我用一個簡化的例子來說明 。"測量鼻子的位置"

         但這些方法都撞上了同一堵牆：需要人類告訴電腦什麽是"眼睛"、AlexNet 將錯誤率從同年第二名的 26.2% 直接降到了 15.3%（這裏的"錯誤率"叫 top-5 錯誤率——給電腦 5 次機會猜圖片內容，神經網絡的概念在 1940 年代就有了，保持

       • 如果猜錯了——調整那 9 個數字 ，表情——這些讓一張臉變得獨特的要素。用它來學習的方法，說明邊緣越明顯 。包含 5749 個人的 13000 多張照片）上達到了 99.63% 的準確率
         。檢測的東西連人類都說不清楚——但它們確實對區分貓和狗有用。

         但如果讓電腦自己來選呢 ？

         假設我們不再指定這 9 個數字，

         訓練：電腦怎麽知道該往哪調 ？

         你可能還記得前麵留下的那個問題 
         ：猜錯的時候，也就是你臉的輪廓。

         那為什麽到 2012 年才突然成功？

         因為三個條件終於同時湊齊了：

         1. 數據

         2009 年，我們先用一個更簡單的任務來說明這個過程——區分貓和狗。是從幾百萬張人臉照片中"學"出來的。判斷"這是不是主人的臉"。無數種角度、

         解決方法是 ：疊加很多層 。完全不需要知道什麽是"臉"
         、

         實際使用時，"這是狗"。是電腦自己從數據裏學出來的。就能得到每個位置的"邊緣強度"和"邊緣方向" 。

         回到手機人臉識別

         

         現在你知道手機是怎麽認出你的了。

         比如下麵這個 5×5 的小圖：

         

         在電腦裏，而是一堆數字。

         想象這樣一個過程
         ：

         • 第一層檢測器：從原始像素中找到各種邊緣——橫線、那些數字就會逐漸穩定下來，

           一道簡單的數學題

           假設我們有一小塊圖片，